民间鬼故事 - 康托尔定理（康托尔提出的定理）
康托尔定理(Cantor's Theorem)：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，则cardX < cardP(X)。康托尔定理指的是在Zermelo-Fränkel集合论中，声称任何集合A的幂集（所有子集的集合）的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。
中文名康托尔定理
外文名Cantor's Theorem
提出者康托尔
提出时间适用领域数理科学
证明
设f是从A到A的幂集的任何函数。必须证明这个f必定不是满射的。要如此，展示一个A的子集不在f的像中就足够了。这个子集是。
∉∉要证明B不在f的像中，假设B在f的像中。那么对于某个y∈A，我们有f(y)=B。考虑y∈B还是y∉B。如果y∈B，则y∈f(y)，但是通过B的定义，这蕴涵了y∉B。在另一方面，如果yB，则yf(y)并因此y∈B。任何方式下都是矛盾。
性质
函数f：X→Y为一个满射，当且仅当存在一个函数g：Y→X满足等于Y上的恒等函数。（这个陈述等价于选择公理。）
根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
如果是满射，则f是满射。
如果f和g皆为满射，则为满射。
f：X→Y为满射，当且仅当给定任意函数g，h：Y→Z满足，则g=h。
如果f：X→Y为满射，且B是Y的子集，则，。因此，B能被其原像复原。
任意函数h：X→Y都可以分解为一个适当的满射f和单射g，使得。
如果f：X→Y为满射函数，则X在基数意义上至少有跟Y一样多的元素。
如果X和Y皆为具有相同元素数的有限集合，则f：X→Y是满射当且仅当f是单射。
发展简史
康托尔在1891年发表的论文"Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre"中本质上给出了这个证明，实数不可数的对角论证法也首次在这里出现。在这个论文中给出的这个论证的版本使用的是在集合上的指示函数而不是集合子集。他证明了如果f是定义在X上的函数，它的值是在X上的二值函数，则二值函数G(x)=1−f(x)(x)不在f的值域中。
罗素在《数学原理》(1903,section348)中给出了一个非常类似的证明，在这里他证明了命题函数要比对象多。“假设所有对象和所有和它们相关的命题函数之间有一种对应，并令phi-x为x所对应的命题函数。则'非-phi-x(x)'，也即"phi-x对于x不成立",是一个在这个对应中没有出现的命题函数；因为它在phi-x假的时候为真，在phi-x真的时候为假，因此它和任何一个x所对应的phi-x不同”。他在康托尔之后贡献了这个想法。
恩斯特·策梅洛在他1908年发表的成为现代集合论基础的论文"Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I"中有一个定理（他称之为康托尔定理）同于上面的论证形式。[1]
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